Question

11．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点E在棱AB上，且AE=m．已知异面直线DB₁与CE所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{3}}}{15}$，求m的值．

Answer 1

分析 以D为坐标原点，以DA、DB、DP所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出m的值．

解答 解：以D为坐标原点，以DA、DB、DP所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，…1分
则D（0，0，0）、B₁（1，1，1）、C（0，1，0）、E（1，m，0）…3分
∴$\overrightarrow{D{B_1}}=（1，\;1，\;1），\overrightarrow{CE}=（1，\;m-1，\;0）$，…5分
$\begin{array}{l}|\overrightarrow{D{B_1}}|=\sqrt{{1^2}+\;{1^2}+{1^2}}=\sqrt{3}，\\|\overrightarrow{{C_1}E}|=\sqrt{{1^2}+\;{{（m-1）}^2}+{0^2}}=\sqrt{{m^2}-2m+2}\end{array}$
$\overrightarrow{D{B_1}}•\overrightarrow{CE}=1×1+1×（m-1）+0=m$．，…7分
∴$cos＜\overrightarrow{D{B_1}}，\overrightarrow{CE}＞=\frac{{\overrightarrow{D{B_1}}•\overrightarrow{CE}}}{{\overrightarrow{|D{B_1}}||\overrightarrow{CE}|}}=\frac{m}{{\sqrt{3}•\sqrt{{m^2}-2m+2}}}$．…10分
∵异面直线DB₁与CE所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{3}}}{15}$，
∴$\frac{|m|}{{\sqrt{3}•\sqrt{{m^2}-2m+2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{15}$，即12m²+m-1=0，…12分
解得$m=\frac{1}{4}或m=-\frac{1}{3}$（舍去）
∴m的值等于$\frac{1}{4}$．…13分．

点评 本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．