Question

9．设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）．
若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，则a的取值范围（1，$\frac{9}{8}$）．

Answer 1

分析 运用赋值法，令x=y=3，求出f（9）=2，再由f（xy）=f（x）+f（y），将f（a）＞f（a-1）+2变形为f（a）＞f（9a-9），再根据函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a＞9a-9}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：∵f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=3，则f（9）=f（3）+f（3）=2f（3）=2，
即f（9）=2，
∵f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）＞f（a-1）+f（9），
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（a-1）+f（9）=f（9a-9），
∴f（a）＞f（9a-9），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a＞9a-9}\end{array}\right.$，∴1＜a＜$\frac{9}{8}$，
∴实数a的取值范围是：（1，$\frac{9}{8}$）．
故答案为：（1，$\frac{9}{8}$）．

点评 本题主要考查函数的单调性及应用，注意不要忘记函数的定义域，同时考查解决抽象函数问题常用的方法：赋值法，注意条件的反复运用和灵活运用．