题目内容
【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,( 为参数),为曲线上的动点,动点满足(且),点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程,并说明是什么曲线;
(2)在以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 点的极坐标为,射线与的异于极点的交点为,已知面积的最大值为,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)2
【解析】分析:(1)设, ,根据,推出,代入到,消去参数即可求得曲线的方程及其表示的轨迹;(2)法1:先求出点的直角坐标,再求出直线的普通方程,再根据题设条件设点坐标为,然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质,结合面积的最大值为,即可求得的值;法2:将, 代入,即可求得,再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质,结合面积的最大值为,即可求得的值.
详解:(1)设, ,由得.
∴
∵在上
∴即(为参数),消去参数得.
∴曲线是以为圆心,以为半径的圆.
(2)法1: 点的直角坐标为.
∴直线的普通方程为,即.
设点坐标为,则点到直线的距离.
∴当时,
∴的最大值为
∴.
法2:将, 代入并整理得: ,令得.
∴
∴
∴当时, 取得最大值,依题意,∴.
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