Question

【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B是钝角，且 a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面积为 ，且b=7，求a+c的值；
（3）若b=6，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴利用正弦定理可得： ，又sinA≠0，

∴可得： ，

∵B是钝角，

∴

（2）解：∵ ．

∴可得：ac=15，

∵b2=a2+c2﹣2accosB，

∴49=（a+c）2﹣ac，

∴a+c=8．

（3）解：∵b2=a2+c2﹣2accosB，

∴36=a2+c2+ac≥2ac+ac，

∴ac≤12，

∴ ，（当且仅当 时面积取最大值 ）

【解析】（1）利用正弦定理可得 ，结合sinA≠0，可求sinB，结合B是钝角，即可得解B的值．（2）由已知利用三角形面积公式可求ac=15，利用余弦定理即可得解a+c=8．（3）由余弦定理，基本不等式可得36=a2+c2+ac≥2ac+ac，解得ac≤12，利用三角形面积公式即可得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．