题目内容
(本小题满分14分)
△ABC中,角A的对边长等于2,向量m=,向量n=
.
(1)求m·n取得最大值时的角A的大小;
(2)在(1)的条件下,求△ABC面积的最大值.
解:(1)m·n=2-
. …………………3分
因为 A+B+C,所以B+C
-A,
于是m·n=+cosA=-2
=-2
.……………5分
因为
,所以当且仅当
=
,即A=
时,m·n取得最大值
.
故m·n取得最大值时的角A=. …………………………7分
(2)设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,
由余弦定理,得 b2+c2-a2=2bccosA, …………………………9分
即bc+4=b2+c2≥2bc,
所以bc≤4,当且仅当b=c=2时取等号. ……………………… 12分
又S△ABC=bcsinA=
bc≤
.
当且仅当a=b=c=2时,△ABC的面积最大为. ………………………14分

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