Question

20．当x∈（1，4）时，求函数f（x）=（log₂$\frac{x}{8}$）$•（lo{g}_{2}\frac{x}{4}）$的值域．

Answer 1

分析 进行对数的运算，从而得到f（x）=log²₂x-5log₂x+6，可换元：令log₂x=t，设y=f（x），从而可得到$y=（t-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，从而根据t的范围，求该二次函数的值域即可得出原函数的值域．

解答 解：f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）=log²₂x-5log₂x+6；
令log₂x=t，0＜t＜2，设y=f（x），则：
$y={t}^{2}-5t+6=（t-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，设y=g（t），则：
$g（\frac{5}{2}）≤g（t）＜g（1）$；
∴$-\frac{1}{4}≤g（t）＜2$；
∴原函数的值域为$[-\frac{1}{4}，2）$．

点评 考查函数值域的概念，对数的运算，换元法求函数的值域，以及配方求二次函数值域的方法．