题目内容
已知向量
=（cosωx，cosωx），
=（
sinωx，cosωx），其中0＜ω＜2，f（x）=
•
+
，其图象的一条对称轴为x=
．
（1）求f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为其面积，若f(
)=2 ， b=2 ， S=2
，求a的值．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
（1）求f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为其面积，若f(
| A |
| 2 |
| 3 |
分析：（1）由向量的数量积运算公式和三角恒等变换公式，化简得
•
=sin（ωx+
）+
，从而f（x）=sin（ωx+
）+1．根据三角函数图象的对称轴公式算出ω=2，即可得到f（x）=sin（2x+
）+1；
（2）由（1）中求出的表达式，得f（
）=sin（A+
）+1=2，可得sin（A+
）=1，结合A为三角形内角解出A=
．根据三角形的面积公式，结合b=2且△ABC的面积S=2
，算出c=4．最后利用余弦定理即可算出边a的值．
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）中求出的表达式，得f（
| A |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：解：（1）∵向量
=（cosωx，cosωx），
=（
sinωx，cosωx），
∴
•
=
sinωxcosωx+cosωx•cosωx
=
sinωx+
（1+cos2ωx）=sin（ωx+
）+
因此，f（x）=
•
+
=sin（ωx+
）+1
令ωx+
=
+kπ（k∈Z），得ωx=
+kπ（k∈Z），
∵图象的一条对称轴为x=
，∴ω•
=
+kπ（k∈Z），
由0＜ω＜2，取k=0得ω=2
因此，f（x）的表达式为：f（x）=sin（2x+
）+1；
（2）由（1）得f（
）=sin（A+
）+1=2，可得sin（A+
）=1
∴A+
=
+2kπ（k∈Z），结合A为三角形内角得A=
∵b=2，△ABC的面积S=2
∴
bcsinA=2
，即
×2×c×sin
=2
，可得c=4
由余弦定理，得
a2=b2+c2-2bccosA=4+16-2×2×4×
=12
∴a=2
（舍负）
| a |
| b |
| 3 |
∴
| a |
| b |
| 3 |
=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
因此，f（x）=
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
令ωx+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵图象的一条对称轴为x=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
由0＜ω＜2，取k=0得ω=2
因此，f（x）的表达式为：f（x）=sin（2x+
| π |
| 6 |
（2）由（1）得f（
| A |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴A+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵b=2，△ABC的面积S=2
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
由余弦定理，得
a2=b2+c2-2bccosA=4+16-2×2×4×
| 1 |
| 2 |
∴a=2
| 3 |
点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求函数表达式并依此解三角形ABC．着重考查了向量的数量积、三角函数的图象与性质和余弦定理等知识，属于中档题．
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