Question

已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)²，a，b是常数．
(1)若a≠b，求证：函数f(x)存在极大值和极小值；
(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x₁，x₂，设点A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))．如果直线AB的斜率为－，求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件．

Answer 1

（1）见解析    （2）公共减区间为或，长度均为
（3）m＝，a＝b≤0.

解：(1)证明：
f′(x)＝(x－b)[3x－(2a＋b)]，
因为a≠b，所以b≠，
所以f′(x)＝0有两个不等实根b和，
所以f(x)存在极大值和极小值．
(2)①当a＝b时，f(x)不存在减区间；
②当a>b时，由(1)知x₁＝b，x₂＝，
所以A(b,0)，B，
所以＝－，
即4(a－b)³＝9(a－b)，
所以a－b＝或a－b＝－(舍去)；
③当a<b时，x₁＝，x₂＝b.
同理可得a－b＝－或a－b＝(舍去)．
综上，a>b且a－b＝或a<b且a－b＝－.
所以f(x)的减区间为，即(b，b＋1)或f(x)的减区间为，即(b－1，b)；
f′(x)的减区间为或.
所以公共减区间为或，长度均为.
(3)由题意f(x)≥mxf′(x)，
所以(x－a)(x－b)²≥mx(x－b)[3x－(2a＋b)]，
所以(x－b){(1－3m)x²＋[m(2a＋b)－(a＋b)]x＋ab}≥0.
若m≠，则左边是一个一次因式乘一个恒正(或恒负)的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负．
所以m＝，
所以(x－b)[(a＋2b)x－3ab]≤0.
若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a＝b＝0；
若a＋2b≠0，则x₁＝b，x₂＝，
所以
①若b＝0，则a<0；
②若b≠0，则＝1，所以a＝b且b<0.
综上，m＝，a＝b≤0.