Question

2．椭圆E：$\frac{x^2}{5}$+$\frac{y^2}{4}$=1的右焦点F，直线l与曲线x²+y²=4（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，记△FAB的周长为m，则实数m的所有可能取值所成的集合为{2$\sqrt{5}$}．

Answer 1

分析 确定AQ，BQ，利用椭圆第二定义，即可求出实数m的所有可能取值所成的集合

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切点为Q，则
$\begin{array}{l}A{Q^2}=A{O^2}-{r^2}={x^2}_1+{y_1}^2-4（∵\frac{{{x_1}^2}}{5}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1）\\={x^2}_1+4（1-\frac{{{x_1}^2}}{5}）-4=\frac{{{x_1}^2}}{5}\\∴AQ=\frac{{{x_1}^{\;}}}{{\sqrt{5}}}（∵{x_1}＞0）\end{array}$
同理可求得：$BQ=\frac{{{x_2}^{\;}}}{{\sqrt{5}}}$
由椭圆第二定义：
$\begin{array}{l}AF=a-e{x_1}=\sqrt{5}-\frac{1}{{\sqrt{5}}}{x_1}\\ BF=a-e{x_2}=\sqrt{5}-\frac{1}{{\sqrt{5}}}{x_2}\\ AF+BF=2\sqrt{5}-\frac{1}{{\sqrt{5}}}（{x_1}+{x_2}）\end{array}$
$\begin{array}{l}△ABF周长=AB+AF+BF=\frac{1}{{\sqrt{5}}}（{x_1}+{x_2}）+2\sqrt{5}-\frac{1}{{\sqrt{5}}}（{x_1}+{x_2}）\\=2\sqrt{5}（为定值）\end{array}$
故答案为：{2$\sqrt{5}$}．

点评 本题考查椭圆方程与性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．