Question

12．已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n，n∈N⁺，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据数列通项公式和前n项和之间的关系进行求解，结合等差数列的定义进行求解即可得到结论．

解答 解：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1²-$\frac{1}{2}$a_n-1，
即$\frac{1}{2}$a_n²-$\frac{1}{2}$a_n-1²-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n-1）=0，
即$\frac{1}{2}$（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n-1）=0，
即$\frac{1}{2}$（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵S_n为正项数列{a_n}的前n项和，
∴a_n＞0，a_n+a_n-1＞0，
即a_n-a_n-1-1=0，
a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是公差d=1的等差数列，
当n=1时，S₁=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a₁=a₁，
即$\frac{1}{2}$a_n²=$\frac{1}{2}$a₁，
解得a₁=1或a₁=0（舍），
则a_n=1+n-1=n，
即{a_n}的通项公式为a_n=n．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系进行递推关系是解决本题的关键．