Question

如图，在△ABC中，∠B＝90°，以AB为直径的圆O交AC于D，过点D作圆O的切线交BC于E，AE交圆O于点F.求证：

(1)E是BC的中点；
(2)AD·AC＝AE·AF.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

(1)连结BD，因为AB为圆O的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中点．
(2)连结BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有，
即AB²＝AE·AF，同理可得AB²＝AD·AC，
所以AD·AC＝AE·AF.