Question

已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b

Answer 1

【答案】分析：设F（x）=xf（x），根据题意得F（x）是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数，由此比较、lg3和2的大小，结合函数的性质，不难得到本题的答案．
解答：解：设F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x），且f（-x）=-f（x）
∴当x∈（-∞，0）时，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴F（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，在区间（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函数．
∵0＜lg3＜lg10=1，∈（1，2）
∴F（2）＞F（）＞F（lg3）
∵=-2，从而F（）=F（-2）=F（2）
∴F（）＞F（）＞F（lg3）
即＞＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
故答案为：A
点评：本题给出抽象函数，比较几个函数值的大小．着重考查了利用导数研究函数的单调性、不等式比较大小和函数单调性与奇偶性关系等知识，属于中档题．