Question

【题目】已知不等式的解集为(1，t)，记函数.

(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；

(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为，，试将表示成以为自变量的函数，并求的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）先根据不等式的解集为(1，t)证明，对于函数，由，可得必有两个不同零点；（2）化简等于，由不等式的解集为，可得有，化简，利用二次函数的性质可得的范围，从而求得的取值范围.

(1)由题意知a＋b＋c＝0，且－ >1，a<0且 >1，

∴ac>0，

∴对于函数f(x)＝ax 2 ＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b) 2 ＋4ac>0，

∴函数y＝f(x)必有两个不同零点．

(2)|m－n| 2 ＝(m＋n) 2 －4mn＝，

，

由不等式ax 2 ＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，

方程ax 2 ＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，

由根与系数的关系知 ＝t，

∴，t∈(1，＋∞)．

∴|m－n|> ，∴|m－n|的取值范围为( ，＋∞)．