Question

【题目】在钝角△ABC中，∠A为钝角，令 = ， = ，若 =x +y （x，y∈R）．现给出下面结论：
①当x= 时，点D是△ABC的重心；
②记△ABD，△ACD的面积分别为S△ABD ， S△ACD ， 当x= 时， ；
③若点D在△ABC内部（不含边界），则 的取值范围是 ；
④若 =λ ，其中点E在直线BC上，则当x=4，y=3时，λ=5．
其中正确的有（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①设BC的中点为M，则 = ，
当x=y= 时， = ，
∴D为AM靠近M的三等分点，故D为△ABC的重心．故①正确．
②设 ， ，则S△APD= S△ABD ， S△AQD= S△ACD ，
∵ ，∴S△APD=S△AQD ， 即 S△ABD= S△ACD ，
∴ ，故②正确．
③∵D在△ABC的内部，∴ ，作出平面区域如图所示：

令 =k，则k为过点N（﹣2，﹣1）的点与平面区域内的点（x，y）的直线的斜率．
∴k的最小值为kNS= ，最大值为kNR=1．故③正确．
④当x=4，y=3时， ，
∵ ，∴ = ，
∵E在BC上，∴ =1，λ=7，故④错误．
所以答案是：①②③．