Question

【题目】已知函数f（x）=3x+λ3﹣x（λ∈R）．
（1）若f（x）为奇函数，求λ的值和此时不等式f（x）＞1的解集；
（2）若不等式f（x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=3x+λ3﹣x为奇函数，

∴f（﹣x）+f（x）=3﹣x+λ3x+3x+λ3﹣x=（3x+3﹣x）+λ（3x+3﹣x）=（λ+1）（3x+3﹣x）=0，

∵3x+3﹣x＞0，∴λ+1=0，即λ=﹣1．

此时f（x）=3x﹣3﹣x，

由f（x）＞1，得3x﹣3﹣x＞1，即（3x）2﹣3x﹣1＞0，

解得： （舍），或3x＞ ，即x＞ ．

∴不等式f（x）＞1的解集为（ ）

（2）解：由f（x）≤6得3x+λ3﹣x≤6，即3x+ ≤6，

令t=3x∈[1，9]，

原不等式等价于t+ ≤6在t∈[1，9]上恒成立，

亦即λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立，

令g（t）=6t﹣t2，t∈[1，9]，

当t=9时，g（t）有最小值g（9）=﹣27，

∴λ≤﹣27

【解析】（1）直接由f（﹣x）+f（x）=0求得λ值．把求得的λ值代入f（x），由f（x）＞1求得3x的范围，进一步求解指数不等式得答案；（2）由题意可得3x+ ≤6，令t=3x∈[1，9]，原不等式等价于λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t﹣t2 ， t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范围．
【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．