Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）．（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$，求：
（1）$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角；
（2）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）由已知等式得到向量$\overrightarrow{b}$的模，然后由向量的数量积公式求夹角；
（2）先求其平方，展开，转化为向量的平方和数量积的运算解答．

解答 解：（1）因为|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$，所以|$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为45°；
（2）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=1+4×$\frac{1}{2}$+4×$\frac{1}{2}$=5，所以）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了向量的数量积公式的运用求向量的夹角以及求向量的模；一般的，没有坐标表示的向量，如果求其模，一般先求其平方．