题目内容
7.已知△ABC中,2cos2C=8sin2$\frac{A+B}{2}$-7.(1)求角C的大小;
(2)求cos2A+2cos2B的取值范围.
分析 (1)由三角形的内角和公式及二倍角公式可得,4sin2$\frac{A+B}{2}$-cos2C=4×$\frac{1+cosC}{2}$-(2cos2C-1)=$\frac{7}{2}$,从而可得4×$\frac{1+cosC}{2}$-(2cos2C-1)=$\frac{7}{2}$解方程可求 cosC,进而求C;
(2)由(I)得A+B=$\frac{2π}{3}$,利用三角函数恒等变换化简可得cos2A+2cos2B=cos(2A+$\frac{π}{3}$)+1,由A∈(0,$\frac{2π}{3}$),2A+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{3}$),可得cos(2A+$\frac{π}{3}$)∈[-1,$\frac{1}{2}$),即可得解.
解答 解:(1)∵A,B,C为三角形的内角,2cos2C=8sin2$\frac{A+B}{2}$-7.
∴A+B+C=π,
∵4sin2 $\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$,
∴4cos2 $\frac{C}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$,
∴4×$\frac{1+cosC}{2}$-(2cos2C-1)=$\frac{7}{2}$
即2cos2C-2cosC+$\frac{1}{2}$=0,
∴cosC=$\frac{1}{2}$,
∵0<C<π.
∴C=$\frac{π}{3}$.
(2)由(I)得A+B=$\frac{2π}{3}$,
∴cos2A+2cos2B=cos2A+cos2B+1=cos2A+cos2($\frac{2π}{3}$-A)+1=$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+1
=cos(2A+$\frac{π}{3}$)+1
∵A∈(0,$\frac{2π}{3}$),2A+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{3}$),cos(2A+$\frac{π}{3}$)∈[-1,$\frac{1}{2}$),
∴cos2A+2cos2B=cos(2A+$\frac{π}{3}$)+1∈[0,$\frac{3}{2}$).
点评 本题主要考查了利用二倍角公式对三角函数式进行化简、求值,还考查了辅助角公式的应用及正弦函数的性质的应用,属于基础知识的简单综合运用,属于中档题.
A. | 关于点($\frac{π}{12}$,0)对称 | |
B. | 可由函数f(x)的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到 | |
C. | 可由函数f(x)的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到 | |
D. | 可由函数f(x)的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位得到 |
A. | 5 | B. | -5 | C. | ±5 | D. | 不确定 |
A. | -2 | B. | 2 | C. | -4 | D. | 4 |