题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,侧面
底面ABCD,侧棱
,底面ABCD为直角梯形,其中
,
,
,O为AD中点.
(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(2)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,且
.
【解析】
(1)由已知可证,异面直线所成的角找到,在三角形中求解即可;
(2)用体积法求得到平面
的距离,然后再根据体积比求解.
(1)∵,
,连接
,
所以,
,∴四边形
是平行四边形,∴
,
所以异面直线PB与CD所成角是或其补角.
,
,
是
中点,则
,又平面
平面ABCD且平面
平面ABCD
,∴
平面
,∴
,
在中,由
,得
,
,
∴.
.
∴异面直线PB与CD所成角的余弦值为;
(2)连接,由(1)
,
是正方形,
,
,
是正三角形,
∴.
又,
设到平面
的距离为
,
由得
,即
,
,
∵,∴线段AD上存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
且,
∴
.
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