Question

【题目】如图，在三棱柱中， 侧面底面.

(1)求证： 平面；

(2)若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析: （1）由四边形为菱形，得对角线，由侧面底面，得侧面B1，从而1，由此能证明平面；
（2）由勾股定理得，由菱形中，得为正三角形，以菱形的对角线交点为坐标原点方向为轴， 方向为轴，过且与平行的方向为轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的余弦值.

试题解析:(1）证明：在侧面中，

,

四边形为菱形，

对角线.

侧面底面，

侧面，

.

又,

平面.

(2)在中， ,

又菱形中， ，

为正三角形.

如图，以菱形的对角线交点为坐标原点方向为轴， 方向为轴，过且与平行的方向为轴建立如图空间直角坐标系，

则

,

设为平面的方向量，则

令,得为平面的一个法向量.

又为平面的一个法向量，

.

二面角的余弦值为.