Question

已知函数，，
（1）若函数的两个极值点为，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数的图象过点的切线方程；
（3）对一切恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（1） （2）x+y-2=0  （3）  a≥-2

函数的两个极值点处导数为0 ，g’(x)=3x²+2ax-1带入即可；
要求函数的图象过点的切线方程，先求函数在点处的导数即斜率，在用点斜式求出方程；恒成立求实数的取值范围时，一般分离参数，2a≥2lnx-3x-再在最值处成立即可。
解：（1）g’(x)=3x²+2ax-1由题意：
（2）由（1）可得：g(x)=x³-x²-x+2（1^o）若P为切点，则切线方程为：y=1
2 ^o若P不是切点，设切点Q（x₀，y₀）∴切线方程为y-y₀=(3x₀²-2x₀-1)(x-x₀)
1-(x₀³-x₀²-x₀+2)=(3x₀²-2x₀-1)(1-x₀)    2x₀(x₀-1)²=0    ∴x₀=0   ∴切点（0，2）
∴切线方程：x+y-2=0
（3）2xlnx≤3x²+2ax-1+2    ∴2ax≥2xlnx-3x²-1     ∵x>0   ∴2a≥2lnx-3x-
令ln(x)=2lnx-3x-   
x      （0，1）    1      （1，+∞）
h’(x)      +       0       -
h(x)        ↑     极大值      ↓
∴h(x) ≤h(1)=-4    ∴2a≥-4    a≥-2