题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求过点的
的切线方程;
(2)当时,求函数
在
的最大值;
(3)证明:当时,不等式
对任意
均成立(其中
为自然对数的底数,
).
【答案】(1),(2)当
时,
的最大值为
;
当时,
的最大值为
;(3)见解析
【解析】试题分析:(1)设出切点坐标,表示出切线方程,代入点的坐标,求出切线方程即可;
(2)求出函数的导数,求出函数的单调区间,求出F(x)的最大值即可;
(3)问题可化为m>(x﹣2)ex+lnx﹣x,设,要证m≥﹣3时m>h(x)对任意
均成立,只要证h(x)max<﹣3,根据函数的单调性证明即可.
试题解析:
解:(1)设切点坐标为,则切线方程为
,
将代入上式,得
,
,
∴切线方程为;
(2)当时,
,
,
∴,
,
当时,
,当
时,
,
∴在
递增,在
递减,
∴当时,
的最大值为
;
当时,
的最大值为
;
(3)可化为
,
设,
,要证
时
对任意
均成立,只要证
,下证此结论成立.
∵,∴当
时,
,
设,则
,∴
在
递增,
又∵在区间
上的图象是一条不间断的曲线,
且,
,
∴使得
,即
,
,
当时,
;当
时,
,
;
∴函数在
递增,在
递减,
∴
,
∵在
递增,∴
,即
,
∴当时,不等式
对任意
均成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的倾斜角;
(2)设点,直线
和曲线
交于
两点,求
的值.
【题目】韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示,受“闺蜜门”时间影响,韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌,在所调查的1000个对象中,年龄在[20,30)的群体有200人,支持率为0%,年龄在[30,40)和[40,50)的群体中,支持率均为3%;年龄在[50,60)和[60,70)的群体中,支持率分别为6%和13%,若在调查的对象中,除[20,30)的群体外,其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示,其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列.
(1)依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数
(2)请依上述支持率完成下表:
年龄分布 是否支持 | [30,40)和[40,50) | [50,60)和[60,70) | 合计 |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关?
附表:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
参考数据:125×33=15×275,125×97=25×485)