题目内容

(本小题满分14分)
是定义在上的函数,用分点

将区间任意划分成个小区间,如果存在一个常数,使得和式)恒成立,则称上的有界变差函数.
(1)函数上是否为有界变差函数?请说明理由;
(2)设函数上的单调递减函数,证明:上的有界变差函数;
(3)若定义在上的函数满足:存在常数,使得对于任意的 时,.证明:上的有界变差函数.
解:(1)函数上是增函数, 对任意划分
 ,
取常数,则和式)恒成立,
所以函数上是有界变差函数.          …………4分
(2)函数上的单调递减函数,
且对任意划分


一定存在一个常数,使
上的有界变差函数.                    …………9分
(3)
对任意划分

取常数
由有界变差函数定义知上的有界变差函数. …………14分
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