题目内容
(本小题满分14分)在平面直角坐标系
中,设点
,直线
:
,点
在直线
上移动,
是线段
与
轴的交点,
.
(I)求动点
的轨迹的方程
;
(II)设圆
过
,且圆心
在曲线
上,
是圆
在
轴上截得的弦,当
运动时弦长
是否为定值?请说明理由.











(I)求动点


(II)设圆










解:(I) 依题意知,直线
的方程为:
.……………2分

点
是线段
的中点,且
⊥
,∴
是线段
的垂直平分线.……………4分
∴
是
点
到直线
的距离.
∵点
在线段
的垂直平分线,
∴
.……………6分
故动点
的轨迹
是以
为焦点,
为准线的抛物线,
其方程为:
.……………8分
(II)
,
到
轴的距离为
,…………9分
圆的半径
,…………10分
则
,
……………12分
由(I)知
,
所以
,是定值.……………14分



点






∴




∵点


∴

故动点




其方程为:

(II)




圆的半径

则


由(I)知

所以

略

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