Question

【题目】已知函数x2=4y的焦点是F，直线l与抛物线交于A，B两点．
（1）若直线l过焦点F且斜率为1，求线段AB的长；
（2）若直线l与y轴不垂直，且|FA|+|FB|=3．证明：线段AB的中垂线恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2=4y，得抛物线焦点F（0，1），

则直线l的方程为y=x+1，

联立 ，得y2﹣6y+1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=6，

∴|AB|=y1+y2+2=8；

（2）证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y=kx+b，

联立 ，得y2﹣（4k2+2b）y+b2=0．

则 ，

∴|FA|+|FB|= ，

则 ，

∴ ，

∴A，B的中点坐标为（ ），

则AB的中垂线恒过定点（ ）

【解析】（1）由题意写出直线方程的斜截式，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合焦半径公式求得答案；（2）设直线l的方程y=kx+b，联立直线方程和抛物线方程，由|FA|+|FB|=3得到k与b的关系，利用根与系数的关系求得A，B的中点坐标，由线段AB的中点为定点可得答案．