题目内容
15.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x),当x≠0时,f'(x)+$\frac{f(x)}{x}$>0,若a=$\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})\;\;b=-2f(-2)\;\;c=ln2•f(ln2)$,则下列关于a,b,c的大小关系正确的是( )A. | a>b>c | B. | a>c>b | C. | c>b>a | D. | b>c>a |
分析 令g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x).由于当x≠0时,f′(x)+$\frac{f(x)}{x}$>0,可得:当x>0时,xf′(x)+f(x)>0.即当x>0时,g′(x)>0,因此当x>0时,函数g(x)单调递增,然后利用函数g(x)的单调性得答案.
解答 解:令g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x).
∵当x≠0时,f′(x)+$\frac{f(x)}{x}$>0,
∴当x>0时,xf′(x)+f(x)>0.
即当x>0时,g′(x)>0,
因此当x>0时,函数g(x)单调递增.
∵函数f(x)为奇函数,∴b=-2f(-2)=2f(2),
又c=ln2f(ln2),
∵2>ln2>$\frac{1}{2}$,
∴g(2)>g(ln2)>g($\frac{1}{2}$),
即b>c>a.
故选:D.
点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系,训练了构造函数法比较大小,考查了推理能力,是中档题.
练习册系列答案
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A. | 503 | B. | $\frac{1007}{2}$ | C. | 1006 | D. | 1007 |
20.截止1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么到2020年底,我国的人口数最多为多少亿?( )
A. | 13+20×13×1% | B. | 13+21×13×1% | C. | 13×(1+1%)20 | D. | 13×(1+1%)21 |