题目内容
【题目】如图，已知椭圆的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
，其中
在
轴的同一侧.
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是否存在题设中的点，使得
？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得
，再结合离心率为
，解出
，
，由双曲线的顶点是该椭圆的焦点，得
,再根据实轴长等于虚轴长得
（2）设P点坐标，利用点斜式表示直线AB,CD方程,利用韦达定理及弦长公式求
；根据椭圆性质确定直线AB,CD斜率关系，根据焦点三角形求向量夹角，综合条件可解得P点坐标
试题解析：解：（1）由题意知，椭圆离心率为 ，得
，又 ，所以可解得， 
，所以
，所以椭圆的标准方程为
；所以椭圆的焦点坐标为（
，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
（2）设
，则
，
在双曲线
上，
，设
方程为
，
的方程为
，设
，则
，
，
同理，
， 由题知，
，
.
， 
,
.
练习册系列答案
相关题目
【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
算得，
．见附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
