Question

7．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x+1）=f（x-1），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax，我们易得，x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（2）由函数的周期性，我们易得函数的解析式；

解答 解：（1）∵f（x+1）=f（x-1），且f（x）是R上的偶函数，
∴f（x+2）=f（x），
若x∈[-1，0]时，则x+2∈[1，2]，
则f（x）=f（x+2）=log_a（x+2），x∈[-1，0]，
若x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
则f（x）=f（-x）=log_a（2-x），x∈（0，1]，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log}_{a}（2+x），x∈[-1，0]\\{log}_{a}（2-x），x∈（0，1]\end{array}\right.$
（2）当x∈[2k-1，2k]时，f（x）=f（x-2k）=log_a（2+x-2k），
同理，当x∈（2k，2k+1]时，f（x）=f（x-2k）=log_a（2-x+2k），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log}_{a}（2+x-2k），x∈[2k-1，2k]\\{log}_{a}（2-x+2k），x∈（2k，2k+1]\end{array}\right.$

点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性是解决本题的关键．