题目内容

【题目】已知函数f(x)= sinxcosx+cos2x
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(II)若﹣ <α<0,f(α)= ,求sin2α的值.

【答案】解:(I)∵函数f(x)= sinxcosx+cos2x= sin2x+ =sin(2x+ )+ , ∴函数f(x)的最小正周期为 =π.
(II)若﹣ <α<0,则2α+ ∈(﹣ ),
∴f(α)=sin(2α+ )+ = ,∴sin(2α+ )= ,∴2α+ ∈(0, ),
∴cos(2α+ )= =
∴sin2α=sin(2α+ )=sin(2α+ )cos ﹣cos(2α+ )sin = =
【解析】(I)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出结论.(II)由条件求得sin(2α+ )的值以及2α+ 的范围,可得cos(2α+ )的值,再根据sin2α=sin(2α+ ),利用两角差的正弦公式,求得sin2α的值.

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