Question

已知A（0，7），B（O，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为

 

．

Answer 1

分析：首先设椭圆的另一焦点为M，长轴为2a；依题意，有|AM|+|AC|=2a，且|BM|+|BC|=2a；整理变形可得|AM|-|BM|=|BC|-|AC|=2，可得M的轨迹是以A、B为焦点，实半轴为1的双曲线的下支，由双曲线的标准方程的求法，计算可得答案．

解答：解：设椭圆的另一焦点为M，长轴为2a；
根据A、B在椭圆上，有|AM|+|AC|=2a，且|BM|+|BC|=2a；
则有|AM|+|AC|=|BM|+|BC|；
化简可得：|AM|-|BM|=|BC|-|AC|=2；
则M的轨迹是以A、B为焦点，实半轴为1的双曲线的下支（|AM|＞|BM|），
则M的轨迹方程为：y2-

x2

48

=1，（y＜0）．

点评：本题考查双曲线的标准方程，注意区分求得的轨迹是双曲线的一支还是两支，这点必须在答案的轨迹方程中表现出来．