题目内容
【题目】已知圆:
,直线
:
.
(1)设点是直线
上的一动点,过
点作圆
的两条切线,切点分别为
,求四边形
的面积的最小值;
(2)过作直线
的垂线交圆
于
点,
为
关于
轴的对称点,若
是圆
上异于
的两个不同点,且满足:
,试证明直线
的斜率为定值.
【答案】(1) (2) 见解析
【解析】试题分析:(1) 四边形PAOB为两个对称的直角三角形构成,其中OA与OB为圆的半径,其值固定不变,故到当PO最小值,四边形PAOB的面积最小,即圆心到直线的距离最小,利用点到直线的距离公式求出PO的长,利用勾股定理求出此时AP的长,利用三角形的面积公式求出两直角三角形的面积,即为四边形PAOB面积的最小值.
(2) ,
,设直线
的斜率为
,则
斜率为
,联立
消
得:
,得
,
同理,从而得到直线
的斜率为定值.
试题解析:
(1)设四边形的面积为
,
,
,所以,当
最小时,
就最小,
,所以:
.
(2)直线的方程为:
,代入
,且
在第一象限,
得则
.设
,
,
证法1: ,
设直线的斜率为
,则
斜率为
,
,
,
联立消
得:
,
,得
,
同理,
,
所以,直线的斜率为定值1.
证法2: ,
的弧长等于
的弧长,则
,
所以: ,
展开得: ,
因为在圆
上,则满足:
,
所以整理为: ,即:
,
故,为定值.
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练习册系列答案
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