Question

【题目】已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC= AB，若四面体P﹣ABC的体积为 ，则该球的体积为（ ）
A.
B.2π
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设该球的半径为R， 则AB=2R，2AC= AB= ，
∴AC= R，
由于AB是球的直径，
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC2=AB2﹣AC2=R2 ，
所以Rt△ABC面积S= ×BC×AC= ，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为 ，
∴VP﹣ABC= = ，
即 R3=9，R3=3 ，
所以：球的体积V球= ×πR3= ×π×3 =4 π．
故选D．
设该球的半径为R，则AB=2R，2AC= AB= ，故AC= R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．