Question

【题目】已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.

（1）求的值及函数的极值；

（2）证明：当时，；

（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有.

Answer 1

【答案】（1）；极小值为，无极大值（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）由导数的几何意义得，可构造方程求得；根据导函数的正负可确定的单调性，由此确定函数有极小值，无极大值；

（2）令，由（1）可得，可知单调递增；结合，则当时，，由此证得结论；

（3）取，由（2）可知当时，，由此可得结论.

（1），，，解得：

，.

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

在处取得极小值，

极小值为，无极大值.

（2）令，则.

由（1）得：，即，在上单调递增.

又，当时，，即.

（3）对任意给定的正数c，取.

由（2）知：当时，.

当时，，即.

对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.