题目内容
已知函数 (R).
(1)当时,求函数的极值;
(2)若函数的图象与轴有且只有一个交点,求的取值范围.
(1)当时, 取得极大值为;
当时, 取得极小值为.
(2)a的取值范围是.
解析试题分析:(1)遵循“求导数,求驻点,讨论驻点两侧导数值符号,确定极值”.
(2)根据 = ,得到△= = .
据此讨论:① 若a≥1,则△≤0,
此时≥0在R上恒成立,f(x)在R上单调递增 .
计算f(0),,得到结论.
② 若a<1,则△>0,= 0有两个不相等的实数根,不妨设为.
有.
给出当变化时,的取值情况表.
根据f(x1)·f(x2)>0, 解得a>.作出结论.
试题解析: (1)当时,,
∴.
令="0," 得 . 2分
当时,, 则在上单调递增;
当时,, 则在上单调递减;
当时,, 在上单调递增. 4分
∴ 当时, 取得极大值为;
当时, 取得极小值为. 6分
(2) ∵ = ,
∴△= = .
① 若a≥1,则△≤0, 7分
∴≥0在R上恒成立,
∴ f(x)在R上单调递增 .
∵f(0),,
∴当a≥1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点. 9分
② 若a<1,则△>0,
∴= 0有两个不相等的实数根,不妨设为.
∴.
当变化时,的取值情况如下表:x x1 (x1,x2)