题目内容

已知函数,.
(1)求函数的极值;(2)若恒成立,求实数的值;
(3)设有两个极值点(),求实数的取值范围,并证明.

(1);(2);(3) 见解析。

解析试题分析:(1)先求的定义域,然后对求导,令寻找极值点,从而求出
极值;(2)构造函数,又,则只需恒成立,再证处取到最小值即可;(3)有两个极值点等价于方程上有两个不等的正根,由此可得的取值范围,,由根与系数可知范围为,代入上式得,利用导函数求的最小值即可。
试题解析:(1)的定义域是.
,故当x=1时,G(x)的极小值为0.
(2)令,则
所以,即恒成立的必要条件是
,由得:
时,由
,即恒成立.
(3)由,得
有两个极值点等价于方程上有两个不等的正根,
即:, 解得
,得,其中.
所以
,得
所以,即.        
考点:(1)利用导求函数的极值、最值;(2)一元二方程根的分布;(3)构造函数解决与不等式有关问题。

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