Question

【题目】（1）双曲线的离心率为_____________

（2）点P是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小______ ．

（3）如果是抛物线y2=4x上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线的焦点，若则_______________．

（4）若x,y满足约束条件,则z=x2+y2的最大值为______________．

Answer 1

【答案】 25

【解析】

（1）由双曲线的a和c，利用离心率公式求解即可；

（2）设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义及题干条件可得m+n和mn，再利用余弦定理求角即可；

（3）由抛物线的焦半径定义可知|P1F|+|P2F|+…|P8F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x8+1），代入条件即可得解；

（4）根据不等式组画出可行域，再由x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，数形结合求解即可.

（1）由双曲线得，

所以离心率,故答案为.

（2）椭圆，

可得2a=8，设|PF1|=m，|PF2|=n，可得 ，

化简可得：∴∠F1PF2=60°，故答案为60°.

（3）∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=-1，

∴根据抛物线的定义，Pi（i=1，2，3，…，8）到焦点的距离等于Pi到准线的距离，即|PiF|=xi+1，

可得|P1F|+|P2F|+…|P8F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x8+1）

=（x1+x2+…+x8）+8，

∵x1+x2+…+x8=10，∴|P1F|+|P2F|+…|P8F|=10+8=18．

故答案为18．

（4）如图，作出可行域，

x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，

故最大值为点A（4，3）到原点的距离的平方，即|AO|2=25，故答案为25．