题目内容
已知函数f(x)＝
m(x－1)2－2x＋3＋ln x，m≥1.
(1)当m＝
时，求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值；
(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；
(3)是否存在实数m，使曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
(1) 极小值为f(2)＝ln 2－
(2)见解析 (3) 存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点
【解析】(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋
(x＞0)．
当m＝
时，f′(x)＝
，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝
.
f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：
x |
|
|
| 2 | (2，＋∞) |
f′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.
(2)证明：令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)
因为Δ＝ (m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．
因为m≥1，所以
，
所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．
故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．
(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程
m(x－1)2－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．
显然x＝1是该方程的一个根．
令g(x)＝
m(x－1)2－x＋1＋ln x，则g′(x)＝m(x－1)－1＋
＝
.
当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．
当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝
，则x2∈(0,1)，易得g (x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．
所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在
内也有一个解，m＞1不符合题意．
综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．
