题目内容
2.已知数列{an}:$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$$+\frac{2}{3}$,$\frac{1}{4}$$+\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$,…+$\frac{1}{10}$+$\frac{2}{10}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{9}{10}$,…那么数列{$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$}的前n项和为2-$\frac{4}{(n+1)(n+2)}$.分析 运用等差数列的求和公式可得,an=$\frac{1}{2}$n,化简$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{8}{n(n+1)(n+2)}$=4[$\frac{1}{n(n+1)}$-$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$],再由裂项相消求和即可得到所求.
解答 解:由题意可得an=$\frac{1+2+3+…+n}{n+1}$
=$\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n+1}$=$\frac{1}{2}$n,
$\frac{1}{{a}_{n+2}{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{8}{n(n+1)(n+2)}$=4[$\frac{1}{n(n+1)}$-$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$],
即有前n项和为Sn=4[$\frac{1}{1•2}$-$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2•3}$-$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$-$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$]
=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$]=2-$\frac{4}{(n+1)(n+2)}$.
故答案为:2-$\frac{4}{(n+1)(n+2)}$.
点评 本题考查等差数列的求和公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和,以及化简整理的运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 向左平移$\frac{5π}{12}$个单位 | B. | 向左平移$\frac{5π}{36}$个单位 | ||
C. | 向左平移$\frac{π}{12}$个单位 | D. | 向左平移$\frac{π}{36}$个单位 |