Question

11．函数f（x）=4^x+a•2^x+1-3．
（1）若a=-1，求方程f（x）=0的根；
（2）是否存在实数a，使得f（x）在[0，1]上的最小值为-5，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用因式分解的方法，结合指数和对数的关系，即可得到方程的根；
（2）假设存在实数a，使得f（x）在[0，1]上的最小值为-5．令t=2^x（1≤t≤2），则y=t²+2at-3，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，解方程可得a的值．

解答 解：（1）4^x-2^x+1-3=0，即为（2^x-3）（2^x+1）=0，
即有2^x=3，解得x=log₂3；
（2）假设存在实数a，使得f（x）在[0，1]上的最小值为-5．
令t=2^x（1≤t≤2），则y=t²+2at-3，
当-a≥2，即a≤-2时，[1，2]为递减区间，即有t=2时，取得最小值-5，
即有1+4a=-5，解得a=-$\frac{3}{2}$＞-2不成立；
当-a≤1，即a≥-1时，[1，2]为增区间，即有t=1时，取得最小值-5，
即为-2+2a=-5，解得a=-$\frac{3}{2}$＜-1不成立；
当1＜-a＜2即-2＜a＜-1时，t=-a取得最小值，即为-3-a²=-5，
解得a=±$\sqrt{2}$，由-2＜a＜-1，可得a=-$\sqrt{2}$．
故存在实数a=-$\sqrt{2}$，使得f（x）在[0，1]上的最小值为-5．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，考查指数函数和二次函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．