题目内容

给出下列四个命题
①命题“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
②若0<a<1,则f(x)=x2+ax-3只有一个零点;
③若lga+lgb=lg(a+b),则a+b的最小值为4;
④对于任意实数x,有f(-x)=f(x),且当x>0时,f'(x)>0,则当x<0时,f'(x)<0.
其中正确的命题有______(填所有正确的序号)
①命题“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”是一个真命题,由于原命题是一个全称命题,故其否定是一个特称命题;
②若0<a<1,则f(x)=x2+ax-3只有一个零点是个假命题,由于x=0时,f(0)<0,x趋向于负无穷大与正无穷大时函数值都是正数,故此函数至少有两个零点;
③若lga+lgb=lg(a+b),则a+b的最小值为4是个真命题,由lga+lgb=lg(a+b),得ab=a+b≤(
a+b
2
)
2
解得a+b≥4,故a+b的最小值为4;
④对于任意实数x,有f(-x)=f(x),且当x>0时,f'(x)>0,则当x<0时,f'(x)<0,是个真命题,由对于任意实数x,有f(-x)=f(x),知此函数是一个偶函数,x>0时,f'(x)>0,知函数在(0,+∞)上是增函数,故在(-∞,0)上是减函数,所以有x<0时,f'(x)<0,
综上证明知①③④是真命题
故答案为:①③④
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