Question

15．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$为空间向量，则下列命题中：①$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$⇒$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$；②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$=0，或$\overrightarrow{b}$=0；③|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=${\overrightarrow{a}}^{2}$$-{\overrightarrow{b}}^{2}$；||；④${\overrightarrow{a}}^{2}$$•{\overrightarrow{b}}^{2}$=（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²；⑤（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）$；⑥$\overrightarrow{a}$与（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{b}$互相垂直；⑦|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|²=2（|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²）；⑧$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$≤|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$．其中正确的命题的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$⇒$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$=0，即可判断出正误；
②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$=0，或$\overrightarrow{b}$=0或$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，即可判断出正误；
③当两个向量模相等，方向不同时，不成立；
④由数量积定义（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²=$（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ）^{2}$≤$|\overrightarrow{a}{|}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$$•{\overrightarrow{b}}^{2}$，即可判断出正误；
⑤（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）$，左边与$\overrightarrow{c}$共线，而右边与$\overrightarrow{a}$共线，而$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$不一定共线，即可判断出正误；
⑥作数量积运算$\overrightarrow{a}$•[（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{b}$]=（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，即可判断出正误；
⑦把|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|²展开化简可得2（|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²），即可判断出正误；
⑧由数量积的性质可知：即可判断出正误．

解答 解：①$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$⇒$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$=0，因此不正确；
②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$=0，或$\overrightarrow{b}$=0或$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，因此不正确；
③|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=|=${\overrightarrow{a}}^{2}$$-{\overrightarrow{b}}^{2}$；当两个向量模相等，方向不同时，不成立；
④（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²=$（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ）^{2}$≤$|\overrightarrow{a}{|}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$$•{\overrightarrow{b}}^{2}$，因此不正确；
⑤（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）$，左边与$\overrightarrow{c}$共线，而右边与$\overrightarrow{a}$共线，而$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$不一定共线，因此不正确；
⑥$\overrightarrow{a}$•[（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{b}$]=（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow{a}$与（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{b}$互相垂直，正确；
⑦把|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|²展开化简可得2（|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²），正确；
⑧$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$≤|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$．由数量积的性质可知：正确．
其中正确的命题的个数是3．
故选：B．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．