题目内容
5.已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6.(1)若函数f(x)有零点,求实数a的范围;
(2)在(1)的条件下,求g(a)=2-a•|a+3|的值域.
分析 (1)若函数f(x)有零点,则△=16a2-4(2a+6)<0,解得答案;
(2)在(1)的条件下,求g(a)=-a2-3a+2,a∈(-1,$\frac{3}{2}$),结合二次函数的图象和性质,可得函数的值域.
解答 解:(1)若函数f(x)有零点,
则△=16a2-4(2a+6)<0,
解得:a∈(-1,$\frac{3}{2}$);
(2)在(1)的条件下,求g(a)=2-a•|a+3|=-a2-3a+2,a∈(-1,$\frac{3}{2}$);
∵g(a)=-a2-3a+2的图象是开口朝下,且以直线x=-$\frac{3}{2}$为对称轴的抛物线,
故当a∈(-1,$\frac{3}{2}$)时,函数为减函数,
故当a=-1时,函数取最大值4,当a=$\frac{3}{2}$时,函数取最小值-$\frac{19}{4}$,
故g(a)=2-a•|a+3|的值域为(-$\frac{19}{4}$,4)
点评 本题考查的知识点是二次函数的性质,函数的零点,函数的值域,难度中档.
练习册系列答案
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14.如果a,b,c∈R,那么“b2>4ac”是“方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”的( )
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |