题目内容
8．
如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{1}{2}$．过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB．（1）求椭圆C的右准线方程为：x=4．求椭圆C的方程；
（2）设直线BD、AB的斜率分别为k1，k2，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．
分析 （1）运用椭圆的离心率公式和准线方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（-x1，-y1），运用直线的斜率公式，由两直线垂直的条件，可得AD的斜率，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理，结合直线的斜率公式可得BD的斜率，进而得到所求值．
解答 解：（1）离心率为$\frac{1}{2}$，即为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
右准线方程为：x=4，即为$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，
由b2=a2-c2，解方程可得a=2，b=$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（-x1，-y1），
∵kAB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，
消去y整理得：（b2+a2k2）x2+2ma2k2x+a2m2-a2b2=0，
由韦达定理可知：x1+x2=-$\frac{2m{a}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=$\frac{2m{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由题可知：x1≠-x2，∴k1=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{-k{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$k2，
即有$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值为$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
，即$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值$\frac{3}{4}$．
点评 本题是一道直线与椭圆的综合题，考查椭圆方程的求法，以及椭圆的性质，运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题
如图，三棱柱ABC-A′B′C′，E，F分别是AB，CC′的中点，过EF作一个平面和面A′BC′相交，并找到交线，写出作法．（注意：交线必须是由两个确定的点的连线）