已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.椭圆左.右顶点分别为A.B.且A到椭圆两焦点的距离之和为4．设P为椭圆上不同于A.B的任一点.作PQ⊥x轴.Q为垂足．M为线段PQ中点.直线AM交直线l:x=b于点C.D为线段BC中点．(1)求椭圆的方程,(2)证明:△OMD是直角三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

已知椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆左、右顶点分别为A、B，且A到椭圆两焦点的距离之和为4．设P为椭圆上不同于A、B的任一点，作PQ⊥x轴，Q为垂足．M为线段PQ中点，直线AM交直线l：x=b于点C，D为线段BC中点（如图）．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：△OMD是直角三角形．

分析（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）A（-1，0），B（1，0），直线l：x=1．设点P（x₀，y₀），可得点M，把P代入椭圆方程可得$4x_0^2+y_0^2=4$．得出直线AM的方程，令x=1，得C（1，$\frac{y_0}{{{x_0}+1}}$），可得D（1，$\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}$）．再利用向量垂直与数量积的关系即可证明．

解答解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程为$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．
（2）证明：A（-1，0），B（1，0），直线l：x=1．
设点P（x₀，y₀），可得点$M（{x_0}，\frac{y_0}{2}）$，且$4x_0^2+y_0^2=4$，
直线AM：$y=\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}（x+1）$，令x=1，得C（1，$\frac{y_0}{{{x_0}+1}}$），∴D（1，$\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}$）．
∴$\overrightarrow{OM}=（{x_0}，\frac{y_0}{2}）$，$\overrightarrow{DM}=（{x_0}-1，\frac{y_0}{2}-\frac{y_0}{{2（{x_0}+1）}}）=（{x_0}-1，\frac{{{x_0}{y_0}}}{{2（{x_0}+1）}}）$．
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{DM}=（{x_0}，\frac{y_0}{2}）•（{x_0}-1，\frac{{{x_0}{y_0}}}{{2（{x_0}+1）}}）={x_0}（{x_0}-1）+\frac{{{x_0}y_0^2}}{{4（{x_0}+1）}}=\frac{{{x_0}（4x_0^2-4+y_0^2）}}{{4（{x_0}+1）}}$，
∵$4{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=4，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{DM}$=0，
∴∠OMD=90°．
故△OMD是直角三角形．