Question

（2013•宁波二模）如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率是

2

2

，P₁、P₂是椭圆E的长轴的两个端点（P₂位于P₁右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P₂右侧的一点，且满足

1

|P1Q|

+

1

|P2Q|

=

2

|FQ|

=2．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a），由

1

|P1Q|

+

1

|P2Q|

=

2

|FQ|

=2，得x=

a2

c

，依题意|FQ|=1，即

a2

c

-c=

b2

c

=1，再由离心率

c

a

=

2

2

， b2=a2-c2，联立即可解得a，b，c，及点Q坐标；
（Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m²）y²+4my+2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点B关于x轴的对称点B₁（x₂，-y₂），只需证明B₁即为点C，可证A、F、B₁三点共线，根据斜率相等及韦达定理即可证明；②由①得B、C关于x轴对称，同理A、D关于x轴对称，易知四边形ABCD是一个等腰梯形，从而四边形ABCD的面积S=|x₁-x₂|•（|y₁|+|y₂|）=|m|•|y₁-y₂|•|y₁+y₂|，代入韦达定理可得关于m的函数，通过换元借助导数可求得S的最大值及相应的m值，从而可得直线方程；

解答：解：（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a）．

由

1

|P1Q|

+

1

|P2Q|

=

2

|FQ|

=2，
可得

1

x+a

+

1

x-a

=

2

x-c

，解得x=

a2

c

．
依题意|FQ|=1，即

a2

c

-c=

b2

c

=1．
又因为

c

a

=

2

2

， b2=a2-c2，所以a=

2

， b=c=1．
故椭圆的方程是

x2

2

+y2=1，点Q的坐标是（2，0）．        
（Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m²）y²+4my+2=0，
依题意，△=（4m）²-8（2+m²）=8（m²-2）＞0，m²＞2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=-

4m

2+m2

，y1•y2=

2

2+m2

．（*）
点B关于x轴的对称点B₁（x₂，-y₂），
则A、F、B₁三点共线等价于

y1

x1-1

=

-y2

x2-1

?

y1

my1+1

+

y2

my2+1

=0?

2my1y2+y1+y2

(my1+1)(my2+1)

=0，
由（*）可知上述关系成立．
因此，点C即是点B₁，这说明B、C关于x轴对称．
②由①得B、C关于x轴对称，同理，A、D关于x轴对称．
所以，四边形ABCD是一个等腰梯形，
则四边形ABCD的面积S=|x₁-x₂|•（|y₁|+|y₂|）=|m|•|y₁-y₂|•|y₁+y₂|=

4m2

2+m2

(y1-y2)2

=8

2

•

m2 m2-2

(2+m2)2

．
设t=

m2-2

  (t＞0)，则m²=t²+2，S(t)=8

2

•

(t2+2)t

(t2+4)2

．
求导可得S′=-8

2

•

(t4-6t2-8)

(t2+4)3

，令S'=0，可得t2=3+

17

．
由于S（t）在(0，

3+ 17

)上单调增，在(

3+ 17

，+∞)上单调减．
所以，当t2=3+

17

即m2=5+

17

时，四边形ABCD的面积S取得最大值．                     
此时，直线l的方程是x=±

5+ 17

y+2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程及直线的方程，考查三点共线及直线斜率，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性强，所用知识点繁多，对能力要求高．