题目内容
（2013•宁波二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（ ）
分析：构造函数g（x）=
，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．
| f(x) |
| ex |
解答：解：令g（x）=
，则g′(x)=
=
，
因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即
＜
，
所以
＜
，即3f（ln2）＜2f（ln3），
故选C．
| f(x) |
| ex |
| f′(x)•ex-f(x)•ex |
| e2x |
| f′(x)-f(x) |
| ex |
因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即
| f(ln2) |
| eln2 |
| f(ln3) |
| eln3 |
所以
| f(ln2) |
| 2 |
| f(ln3) |
| 3 |
故选C．
点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．
练习册系列答案
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