Question

（2013•宁波二模）设公比大于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足b₁=1，Tn=n2bn，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若数列{C_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₁=1，S₄=5S₂，求出数列的公比，即可求数列{a_n}的通项公式；通过Tn=n2bn，推出

bn

bn-1

=

n-1

n+1

，利用累积法求解{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）求出等比数列的前n项和，化简C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），推出C_n+1-C_n，利于基本不等式求出数列{C_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

解答：（本题满分14分）
解：（Ⅰ）由S₄=5S₂，q＞0，得  q=2，an=2n-1…（3分）
又

Tn=n2bn Tn-1=(n-1)2bn-1

⇒

bn

bn-1

=

n-1

n+1

（n＞1），
则得

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

•

bn-2

bn-3

•…•

b2

b1

=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

•

1

3

=

2

n(n+1)

所以bn=

2

n(n+1)

，当n=1时也满足．  …（7分）
（Ⅱ）因为Sn=2n-1，所以Cn=2n(

2

n+1

-λ)，使数列{C_n}是单调递减数列，
则Cn+1-Cn=2n(

4

n+2

-

2

n+1

-λ)＜0对n∈N^*都成立，…（10分）
即

4

n+2

-

2

n+1

-λ＜0⇒λ＞(

4

n+2

-

2

n+1

)max，…（12分）

4

n+2

-

2

n+1

=

2n

(n+1)(n+2)

=

2

n+3+ 2 n

，
当n=1或2时，(

4

n+2

-

2

n+1

)max=

1

3

，所以λ＞

1

3

．     …（14分）

点评：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，累积法的应用以及数列的函数的特征的应用，考查计算能力．