题目内容

(14分)设函数,其中
⑴当时,判断函数在定义域上的单调性;
⑵求函数的极值点;
⑶证明对任意的正整数,不等式成立。
⑴当时函数在定义域上单调递增
时,有唯一极小值点
时,有一个极大值点和一个极小值点时,无极值点。
⑶证明见解析
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用,求解函数的单调性和函数的极值,以及函数与不等式的综合运用。
(1)先求解函数的定义域,然后求解导数,令导数大于零或者小于零得到单调区间。
(2)由⑴得当时函数无极值点,接下来对于参数b,进行分类讨论,看导数为零的解,进而确定极值的问题。
(3)当时,函数,令函数
,当时,
函数上单调递增,又,时,恒有
恒成立,从而得到证明。
解:⑴由题意知的定义域为(1分),
,其图象的对称轴为
时,,即上恒成立,时,
时函数在定义域上单调递增。………………………(3分)
⑵①由⑴得当时函数无极值点………………………(4分)
时,有两个相同的解
时,时,
函数上无极值点………………………(5分)
③当时,有两个不同解,
,即
时,的变化情况如下表:

由此表可知时,有唯一极小值点;………………(7分)
时,,此时,的变化情况如下表:

由此表可知:时,有一个极大值点和一个极小值点;……………(9分)
综上所述:时,有唯一极小值点时,有一个极大值点和一个极小值点时,无极值点。(10分)
⑶当时,函数,令函数
,当时,
函数上单调递增,又,时,恒有
恒成立…………………………(12分)
故当时,有…………………………(13分)
对任意正整数,取,则有,故结论成立。……(14分)
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