Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正数，Sn表示数列{an}的前n项的和，且
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn=an2+an，

∴当n=1时，2a1=2S1=a12+a1，且an＞0，

可得a1=1，

∵2Sn=an2+an，

∴当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣12+an﹣1，

∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

又an＞0，

∴an﹣an﹣1=1，

则{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，

故an=a1+（n﹣1）d=n，n∈N*；

（2）解：由bn= = =2（ ﹣ ）

可得Tn=2（1﹣ + ﹣ ++ ﹣ ）

=2（1﹣ ）= ．

【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得bn= = =2（ ﹣ ），运用数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．