Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴右侧，原点和点都在圆上，且圆在轴上截得的线段长度为3．

（1）求圆的方程；

（2）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；

（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，理由详见解析．

【解析】

（1）设出圆的一般方程代入三点坐标，可得圆方程，配方后可得圆标准方程；

（2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长，由小于半径得的一个范围，由在直线两侧又得一个范围，综合即得的取值范围，然后分别求出到直线的距离，得四边形面积，可得最大值．

（3）设，与圆方程联立，由于直线与圆的一个交点为，因此由韦达定理可求得点坐标，同理可得点坐标，计算即得．

（1）由已知圆过，，三点

设圆方程为，则有

，解得

所以圆方程为，即．

（2）由（1）可知，半径，

则到距离，

所以，

当且仅当时取等号，

由解得；

由，在两侧，，，

所以，

到距离，到距离，

所以四边形的面积，

所以时，四边形面积最大为．

（3）由题意可设

由可得，

设，则，

所以，，

同理，

因为，所以，

所以为定值．