Question

设 A、B、C是直线l上的三点，向量满足关系：=．
（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数，的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
（Ⅲ）令函数h（x）=（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的，不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）原向量式变形由A、B、C三点共线可得，由三角函数的知识化简可得；（Ⅱ）可得函数g（x）的解析式，设交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，由对称性可得，可得g（x₂）=，可得b值；（Ⅲ）只需要h（x）_max≤f（x）_min即可，分别求其最值可得关于a的不等式，解之可得．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得
∵A、B、C三点共线，∴----------------------------------------，（2分）
则=
∴--------------------------------（4分）
（Ⅱ）可得函数=-----（5分）
设函数g（x）的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，且，
由已知，有x₁+x₃=2x₂，另一方面，结合图象的对称性有--------------------（7分）
∴x₁=2π-x₂，x₃=4π-x₂，代入x₁+x₃=2x₂，解得------------（8分）
再代入g（x）=cosx，得g（x₂）=，所以b=0------------------（9分）
（Ⅲ）不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，只需要h（x）_max≤f（x）_min即可------------（10分）
令，则t²=1+2sinxcosx=1+sin2x，∴sin2x=t²-1
又，，则
函数h（x）转化为，，
当时，函数取得最大值h（x）_max=3-a-----------------------------------（12分）
又在上的最小值为------------------（13分）
由h（x）_max≤f（x）_min得即，
故实数a的取值范围是--------14分
点评：本题考查等差数列和向量知识的综合应用，涉及三角函数的图象，属中档题．